해당 글은 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra를 정리한 스터디 노트입니다.

Chapter 3. Essence of linear algebra

선형 변환(linear transformations)

‘변환’은 근본적으로 ‘함수’의 다른 말입니다. 입력을 받고 결과물을 반환하는 그 무엇입니다. 즉, 특정 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 변환 같은 것입니다.

어떤 변환이 입력 벡터를 출력 벡터로 바꾼다면, 이는 입력벡터를 이동시켜서 출력벡터로 만드는 것으로 생각해볼 수 있습니다.

이 변환을 모든 벡터에 적용하게 된다면, 모든 가능한 입력벡터들을 이동시켜 그에 상응하는 결과벡터를 만들어내는 것을 상상해볼 수 있습니다.

그럼 이제 변환이 선형적(linear)이라는 것의 의미를 살펴보겠습니다.
모든 선들은 변환 이후에도 휘지않고 직선이어야 하며, 원점은 변환 이후에도 여전히 원점이어야 합니다.

이를 위해서 어떤 공식을 사용해야, 입력벡터의 좌표값을 입력해서 결과벡터의 좌표값이 나오도록 할 수 있을까요?

결론은 두 개의 기저벡터가 어떻게 변하는지만 알면 해결할 수 있습니다.
기저 벡터로 예를 들었던, i-hat과 j-hat을 사용해 보겠습니다.
i-hat의 -1배와 j-hat의 2배를 합한 벡터 v가 아래와 같이 있습니다.
변환 후 v는 변환된 i-hat 벡터의 -1배, 변환된 j-hat 벡터의 2배 입니다.

즉, 변환 전에 v벡터를 이루는 i-hat과 j-hat의 어떤 선형 결합이 변환 후에도 같은 선형 결합을 유지합니다.

위 말 뜻은 결국, 단순히 기저 벡터의 변형 위치만 알면, 벡터 v를 추론할 수 있게 됩니다.

행렬(matrices)

앞서 나온 기저벡터들을 2 * 2 숫자 형태로 표현하게 되면, 바로 우리가 흔히 알던 2*2 사이즈 행렬이 됩니다.
이러한 행렬의 컬럼들을 i-hat, j-hat 두 개의 특별한 벡터로 해석할 수 있습니다.

이를 일반화시켜 다시 살펴보겠습니다.
a,b,c,d를 인자로 가지는 2 by 2 행렬이 있습니다. 이 행렬은 단순히 형태로 자리잡은 선형변환을 나타냅니다.

이 행렬을 해석하자면, 첫 번째 열(a,c)은 첫 번째 기저벡터의 도착점이고, 두 번째 열(b,d)은 두 번째 기저벡터의 도착점이 됩니다.

마지막으로 열(1,2), (3,1)인 행렬을 가지고, 이 변환이 어떤 것인지 추론해보겠습니다.
먼저, i-hat(1,0), j-hat(0,1)을 각각 컬럼에 맞게 이동시킵니다. 이렇게 되면 기하학적인 측면에서 보면, 공간의 나머지 부분도 움직이게 됩니다.
그리고 이 격자선은 여전히 평행하고 균등한 간격을 유지하면서 움직입니다.

i-hat과 j-hat 벡터가 선형 종속(linear dependent)이라면, 벡터 하나가 다른 벡터의 스케일링 버전임을 뜻합니다.
따라서 이 선형 변환은 2차원 공간을 축소시켜, 두 벡터가 놓여있는 선으로 만드는 것을 의미합니다.
이는 1차원 span을 의미하며, 즉 선형 종속적인 두 벡터의 span이 됩니다.

Summary

요약하자면, 선형 변환은 공간을 이동시키는 방법이며, 격자선은 여전히 평행하며, 균등간격을 동일하게 유지한 변형입니다. 또 원점은 고정되어 있습니다.
그리고 행렬은 공간의 어떤 변환이라고 늘 생각해야 합니다.

이번 시간에는 선형 변환, 행렬에 대해 살펴보았습니다.

다음 장에서는 두 행렬의 곱셈에 대해 살펴보겠습니다.

Reference

1. https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab