[Linear Algebra] Linear combinations, span, and basis vector
해당 글은 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra를 정리한 스터디 노트입니다.
Chapter 2. Essence of linear algebra
기저 벡터(basis vector)
xy좌표계에서는 매우 특별한 두 가지 벡터가 있습니다.
- i-hat: 오른쪽 방향의 길이 1인 벡터, x축의 단위 벡터(unit vector)
- j-hat: 위쪽 방향의 길이 1인 벡터, y축의 단위 벡터
이 둘을 좌표계의 기저라고 부릅니다.
좌표값을 스칼라로 생각해보면, 기저 벡터들은 그 스칼라(좌표값)가 스케일링하는 대상이 됩니다.
만약 다른 기저 벡터를 선택한다면, 또 하나의 완전한 새 좌표계를 얻게됩니다.
그럼 어떤 2차원 벡터들이 이러한 스칼라와 기저벡터 조합으로 표현이 가능할까요? 정답은 모든 2차원 벡터들이 가능합니다.
즉 기저벡터는 숫자쌍과 2차원 벡터들 사이를 오갈 수 있는 유효한 길을 제공해줍니다.
다시 정리하자면, 수치로 벡터를 표현할 때, 우리는 암묵적으로 특정 기저 벡터들을 선택한 상태라는 것을 알 수 있습니다.
기술적 정의를 살펴보면, ‘공간의 기저(basis)는 선형독립적인 벡터들의 집합으로 span하면 그 공간이 된다.’ 입니다.
선형 결합(linear combination)
두 벡터를 스케일링하고 더하는 것을 두 벡터의 선형 결합이라고 표현합니다.
왜 선형이라는 단어를 사용하는지 살펴보겠습니다.
만약 스칼라 중 하나를 고정하고, 다른 하나만을 자유롭게 변경해보면 결과 벡터의 끝은 하나의 직선을 만듭니다.
Span
주어진 두 벡터 쌍의 조합으로 나타날 수 있는 결과 벡터들의 집합을 두 벡터의 span이라고 합니다.
2차원 벡터 쌍의 span은 대부분의 경우 2차원 공간 전체가 되지만, 특정 선위로 제한되는 경우도 있습니다.
지난 시간에 선형대수는 벡터합과 스칼라곱의 주위를 돌며 이루어진다고 배웠습니다.
두 벡터의 span은 오로지 두 가지 연산을 가지고 도달 가능한 벡터들의 집합이 무엇인지 묻는 것과 같습니다.
예를 들어, 3차원 공간에서 서로 다른 두 벡터를 선택하면, 그 두 벡터의 span은 어떤 모양일까요?
두 벡터의 모든 선형 결합의 결과가 span이라 하고, 이는 두 벡터를 벡터합과 스칼라곱을 통해 이리저리 조합해서 만들 수 있는 모든 벡터들을 의미합니다.
선형 결합에서 나온 스칼라들로 두 스케일링 된 벡터의 합에 영향을 주고, 따라서 결과 벡터의 끝에도 영향을 줍니다. 그 끝은 3차원 공간의 원점을 가로지르는 평평한 공간이 될 것입니다. 즉, 아래의 평면이 두 벡터의 span입니다.
좀 더 정확하게 말하자면, 평면 위에 끝을 놓는 모든 벡터들의 집합이 두 벡터의 span입니다.
그럼, 다음으로 세 번째 벡터를 추가하고 나면, 이 벡터들이 만드는 span은 어떤 모양일까요?
세 백터의 선형 결합은 3개의 스칼라를 가지고 세 백터를 스케일링하고 합하는 형태입니다.
이제 여기서 두 가지 상황이 발생할 수 있습니다.
세 번째로 추가한 벡터가 다른 두 벡터의 span에 놓여져 있다면, 세 번째 벡터를 추가해도 span이 바뀌지 않습니다. (똑같은 평면에 그대로 입니다.)
즉 세 번째 벡터를 추가하고 아무리 선형 결합을 해봐도, 기존 span 밖에 새로운 벡터를 만들어내지 못합니다.
하지만 두 벡터의 span 평면에 놓여있지 않은 벡터를 선택한다면, 새로운 방향을 가리키는 것이 가능해져서, 이제 3차원의 모든 벡터들에 대한 접근이 가능해집니다.
- 두 가지 상황 중 확인하는 좋은 방법은 세 번째 벡터를 스케일링 해보면서, 기존 두 벡터의 span 평면 위에 갇혔는지 확인해봅니다.
- 또 다른 방법으로는, 스칼라를 마음껏 변화시켜, 3차원 공간 전체에 접근 가능한지 판단해보는 것입니다.
선형 독립(Linear Independent)
그럼 세 번째 벡터가 두 벡터의 span 위(평면)에 놓여있거나, 아님 두 벡터의 span이 이미 직선인 경우라면, 불필요한 벡터가 있어서 그 벡터를 추가해도 span이 더 확장되지 않는 상황이 발생할 수 있습니다.
즉 span의 축소없이 하나 이상의 벡터를 제외시켜도 되는 경우, 이를 선형 종속(linear dependent)이라고 합니다.
반면에, 각각의 벡터가 기존 span에 또 다른 차원을 추가해주는게 가능하다면, 이를 선형 독립(linear independent)이라고 합니다.
Summary
이번 시간에는 선형 결합, 스팬, 기저, 선형 종속, 선형 독립에 대해 살펴보았습니다.
다음 장에서는 선형 변환(linear transformation), 행렬(matrix)개념에 대해 살펴보겠습니다.
Reference
- https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
